Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）取PD中点F，连接EF，AF，
∵E是PC的中点，∴EF

∥

.

1

2

DC，
又∵AB

∥

.

1

2

CD，∴EF

∥

.

AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD的中点H，连接AH、EH、AE、BH，
∵AB

∥

.

1

2

CD，∴AB

∥

.

CH，
∴四边形ABCH为平行四边形，∴BC

∥

.

AH．
令AB=1，
在Rt△ADH中，由勾股定理得AH=

22+12

=

5

．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，
∴PD=2

2

，AF=

1

2

PD=

2

．
∵四边形ABHD为平行四边形，AD⊥AB，
∴四边形ABHD为矩形，∴AH=

12+12

=

2

．
由三角形的中位线定理可知：EH=

1

2

PD=

2

，
由以上作法可知：∠AHE或其补角即为异面直线PD与BC所成的角．
∵PA⊥AB，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AF．
又∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF为矩形，
∴AE=

AF2+EF2

=

( 2 )2+12

=

3

．
在△AEH中，由余弦定理得cos∠AHE=

( 5 )2+( 2 )2-( 3 )2

2 5 2

=

10

5

．
因此异面直线PD与BC所成角的余弦值为

10

5

．