Question

如图，三棱柱的所有棱长都为，且平面，为中点．

（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

（1）欲证AB₁⊥平面A₁BD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB₁与平面A₁BD内两相交直线垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，满足定理所需条件．
（2）
（3）

试题分析：解析： （Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
平面，平面
平面平面，平面．  1分
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，，．
平面． 4分
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，

取为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．
，．
二面角的余弦值为．  9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．
点到平面的距离．  13分
点评：主要是考查了运用向量法来求解空间中的角和距离的求解，属于中档题。