分析 (1)由题意可得周期T,由周期公式可得ω,由函数图象过点$(\frac{2π}{3},-2)$,可得-2=Asin(2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$),解得A,即可得解;
(2)由$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],从而可求sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],即可求得函数f(x)的值域;
(3)先求g(x)=2sin(2x+2φ+$\frac{π}{6}$),g(x)为偶函数,则有:2φ+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,结合范围φ>0即可解得φ的最小值.
解答 解:(1)由题意可得:周期T=2×$\frac{π}{2}=π$,由周期公式可得:$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$,
∵函数图象过点$(\frac{2π}{3},-2)$.
∴可得:-2=Asin(2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$),解得:A=2.
故函数f(x)的解析式为:$f(x)=2sin({2x+\frac{π}{6}})$.
(2)∵$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],
∴sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-1,2],
故函数f(x)的值域为:[-1,2]
(3)将函数y=f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得函数y=g(x)=2sin[2(x+φ)+$\frac{π}{6}$]=2sin(2x+2φ+$\frac{π}{6}$)为偶函数,
则有:2φ+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,解得:φ=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$,k∈Z.
又:φ>0,
可得:${φ_{min}}=\frac{π}{6}$.
点评 本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.
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A. | -2-$\sqrt{3}$ | B. | -$\sqrt{3}$+2 | C. | 0 | D. | 2 |
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A. | ①② | B. | ②③ | C. | ③④ | D. | ②④ |
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