Question

14．已知抛物线x²=2py（p＞0）以椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的上顶点S为焦点，抛物线的过焦点且垂直于其对称轴的弦与椭圆长轴的长度相等．
（1）求出抛物线与椭圆的方程；
（2）设抛物线与椭圆交于A，B，在抛物线弧$\widehat{AB}$上的任一点M处作抛物线的切线l．
①求证：S关于切线l的对称点S′总在抛物线的准线上；
②若T（不是S）是椭圆上的点，且点T到切线l的距离与点S到切线l的距离相等，试问这样的点T有几个？为什么？

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的上顶点可知抛物线方程，利用过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p=4可知椭圆方程；
（2）①通过联立抛物线与椭圆方程可知点M横坐标的取值范围，利用切线l与直线SS′斜率之积为-1及相等SS′中点坐标满足切线方程，计算即得结论；
②一方面将过点S且平行于切线l的直线方程y=$\frac{m}{2}$x+1代入椭圆方程、整理得（1+m²）x²+4mx=0，对m是否为0进行讨论；另一方面将过S′（m，-1）且平行于切线l的直线方程y=$\frac{m}{2}$x-$\frac{{m}^{2}}{2}$-1代入椭圆方程、整理得（1+m²）x²-2m（m²+2）x+（m²+2）²-4=0，从而其判别式△=4m⁴，对m是否为0进行讨论．

解答 （1）解：依题意，S（0，1），
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴抛物线方程为：x²=4y，
∴过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p=4，
∴2a=4，即a=2，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：x=±$\sqrt{2\sqrt{5}-2}$，
设M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），其中m∈[-$\sqrt{2\sqrt{5}-2}$，$\sqrt{2\sqrt{5}-2}$]，
易知在点M处的切线l的斜率k=$\frac{m}{2}$、切线l方程：y=$\frac{m}{2}$x-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
设点S（0，1）关于切线l的对称点为S′（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}•\frac{m}{2}=-1}\\{\frac{1+{y}_{0}}{2}=\frac{m}{2}•\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{{m}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=m}\\{{y}_{0}=-1}\end{array}\right.$，
∴点S（0，1）关于切线l的对称点S′（m，-1）总在抛物线的准线y=-1上；
②结论：满足题设条件的点有且只有一个．
理由如下：
首先，过点S且平行于切线l的直线方程为：y=$\frac{m}{2}$x+1，
代入椭圆方程、整理得：（1+m²）x²+4mx=0，
当m=0时，仅有一解x=0，
∴该直线与椭圆仅有一个公共点即点S（0，1），
当m≠0时，有两解x=0或x=-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，
∴该直线与椭圆有两个不同公共点（0，1）、（-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）；
其次过S′（m，-1）且平行于切线l的直线方程为：y=$\frac{m}{2}$x-$\frac{{m}^{2}}{2}$-1，
代入椭圆方程、整理得：（1+m²）x²-2m（m²+2）x+（m²+2）²-4=0，
其判别式△=4m²（m²+2）²-4（1+m²）[（m²+2）²-4]=-4m⁴，
当m=0时，过点S′且平行于切线l的直线与椭圆有且仅有一个公共点（0，-1），
当m≠0时，该直线与椭圆无公共点，
综上所述，当m=0时椭圆上仅有点T（0，-1）满足要求，
当m≠0时，椭圆上仅有点T（-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）满足要求，
故椭圆上满足要求的点总是有且仅有一个．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．