Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，DE=3，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求直线DB与平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，求出平面BEC的一个法向量，设DB与平面BEC所成角为α，利用sinα=|cos＜

DB

，

m

＞|，可求直线DB与平面BEC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN，AN
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD
又已知AB∥CD，且AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=ABk
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN；
又因为AN?平面BEC，且BM?平面BEC
所以MM∥平面ADEF；…（6分）
（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，
所以，取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）
设

m

=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量．
因为

BC

=（-2，2，0），

CE

=（0，-4，3），
所以

-2x+2y=0 -4y+3z=0

，令x=1，得y=1，z=

4

3

，所以

m

=(1，1，

4

3

)，

DB

=(2，2，0)
设DB与平面BEC所成角为α，则sinα=|cos＜

DB

，

m

＞|=

| DB • m |

| DB || m |

=

4

4+4 • 1+1+ 16 9

=

3 17

17

所以，DB与平面BEC所成角的正弦值为

3 17

17

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定平面的法向量是关键．