Question

如果实数x，y，t满足|x-t|≤|y-t|，则称x比y接近t．
（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）=ln，证明：比更接近0（k∈Z）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得，||a|a|-1|≤|a-1|，由于去绝对值需要考虑a的范围，分类讨论：（1）0＜a＜1（2）a≥1（3）a≤0三种情况求解a的范围
（Ⅱ）要证明比更接近0（k∈Z），只要证明=≤0即可
解答：解：（I）由题意可得，||a|a|-1|≤|a-1|
（1）当0＜a＜1时，|a²-1|≤|a-1|
1-a²≤1-a，得a≥1或a≤0（舍去）
（2）当a≥1时，a²-1≤a-1，得a=1；
（3）当a≤0时，a²+1≤1-a，-1≤a≤0．
综上，a的取值范围是{a|-1≤a≤0或a=1}
（Ⅱ）∵++…+=，
∴=．
令n（n+1）=t，∵n≥2∴t∈[6，+∞），且t∈Z，则
F（t）==．==
∴F（x）在[2，+∞）单调递减∴F（t）≤f（6）＜F（2）=-ln1-0=0．
∴，即≤0．
∴比更接近0．
点评：本题以新定义为载体主要考查了绝对值不等式的解法，利用导数判断函数的单调性求解函数的最值，属于综合性试题