Question

如图2-4,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N、E分别为AB、PC、PD的中点,当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD？

图2-4

Answer 1

取PD中点E,连结EN,EA,则ENAM,∴EA∥MN.
若要使MN⊥平面PCD,则只需EA⊥平面PCD.
由题意,CD⊥EA,要使EA⊥平面PCD,则只需EA⊥PD.
∵E是PD中点,△PAD是直角三角形,
∴当∠PDA为45°时,EA⊥平面PCD,从而MN⊥平面PCD.

求当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD,可转化为求当MN⊥平面PCD时,∠PDA为多少度.证明时取PD中点E,则易证明四边形EAMN是平行四边形.从而由MN⊥平面PCD可得到EA⊥平面PCD,从而EA⊥PD,又易得△PAD是直角三角形,从而易得到此时∠PDA的度数.