Question

已知函数f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

解：∵y=f（x）=-sin²x+sinx+a，
令t=sinx，则y=-t²+t+a（-1≤t≤1），
由于y=-t²+t+a的对称轴是，
∴在-1≤t≤1上，根据二次函数的单调性，有：
当时，y取得最大值，，
当t=-1时，y取得最小值，y_min=-（-1）²+（-1）+a=a-2，
又∵1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立，
即：1≤y=-t²+t+a≤4对一切t∈[-1，1]恒成立，
所以有：，即，
∴实数a的取值范围是．
分析：令t=sinx，则y=-t²+t+a（-1≤t≤1），根据二次函数的单调性，，确定y的最大最小值，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立，只需即可，从而确定a的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的单调性确定函数的最大最小值，属于基础题型．