Question

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段AA₁的中点，M是平面BB₁D₁D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是$\frac{3}{2}$；若|ME|≤1，则点M在平面BB₁D₁D内形成的轨迹的面积等于$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由图形可知AC⊥平面BB₁D₁D，且A到平面BB₁D₁D的距离与C到平面BB₁D₁D的距离相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；
（2）设点E在平面BB₁D₁D的射影为O，则EO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令ME=1，则△EMO是直角三角形，所以点M在平面BB₁D₁D上的轨迹为圆，有勾股定理求得OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即点M的轨迹半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入圆面积公式即可求得面积．

解答 解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，
则AC⊥BD，
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∴AC⊥MN，
∴△AMN≌△CMN，
∴MA=MC，
连接EC，
∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．
在Rt△EAC中，AC=$\sqrt{2}$，EA=$\frac{1}{2}$，∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}+E{A}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
过E作平面BB₁D₁D的垂线，垂足为O，则EO=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，
∴OM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=π•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{π}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$，$\frac{π}{2}$

点评 本题考查了空间几何中的最值问题，找到MA与MC的相等关系是本题的关键．