Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2，E，F分别是A₁B，BC的中点．
（I）证明：EF∥平面A A_lC_lC；
（II）证明：AE⊥平面BEC．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接A₁C，在△BA₁C中利用中位线定理，证出EF∥A₁C，再结合线面平行的判定定理即可证出EF∥平面A A_lC_lC；
（II）在△ABC中利用勾股定理的逆定理证出AB⊥BC，再由AA₁⊥平面ABC证出AA₁⊥BC，可得BC⊥平面AA₁B₁B．而AE?平面AA₁B₁B，所以AE⊥BC，等腰△AA₁B中运用“三线合一”证出AE⊥A₁B，最后利用线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面BEC．
解答：解：（I）连接A₁C，则
∵△BA₁C中，E，F分别是A₁B，BC的中点．
∴EF∥A₁C
∵EF?平面A A_lC_lC，A₁C?平面A A_lC_lC，
∴EF∥平面A A_lC_lC；
（II）∵△ABC中，AB=BC=2，AC=2，
∴AB²+BC²=8=AC²，可得AB⊥BC
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC
∵AB、AA₁是平面AA₁B₁B内的相交直线，∴BC⊥平面AA₁B₁B
∵AE?平面AA₁B₁B，∴AE⊥BC
∵△AA₁B中，AB=AA₁=2，∴AE⊥A₁B
∵A₁B、BC是平面A₁BC内的相交直线，
∴AE⊥平面A₁BC，即AE⊥平面BEC．
点评：本题给出特殊的三棱柱，求证线面平行和线线垂直，着重考查了空间直线与平面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识，属于基础题．