Question

【题目】已知函数f（x）=2x ．
（1）解方程f（log4x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x，

∴f（log4x）=3 = = =3，解得：x=9，

即方程f（log4x）=3的解为：x=9；

（2）解：∵f（x）=2x，为R上的增函数，

∴由f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，

得x+1≤（2x+a）2（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，

因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为 ≤2x+a恒成立

∴a≥（﹣2x+ ）max，x∈[0，15]．

设m（x）=﹣2x+ ，令 =t（1≤t≤4），则x=t2﹣1，t∈[1，4]，

∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

所以，当t=1时，m（x）max=1，

∴a≥1．

（3）解：令2x=t，∵x∈（﹣∞，0]，

∴t∈（0，1），

∴存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，

所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，

即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ ）max或a＞（t+ ）min，

∴a≤0或a≥2；

【解析】（1）依题意，f（log4x）=3 =3，即 = =3，从而可解得x=9；（2）利用指数函数y=2x的单调性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）2]x+1≤（2x+a）2，依题意，整理可得a≥（﹣2x+ ）max，x∈[0，15]．利用换元法可解得a的取值范围；（3）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，分离参数a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ ）max或a＞（t+ ）min，解之即可；