解:(1)由题意可得:
,
所以函数的定义域为:(-2,-1)∪(-1,+∞),
所以
,
令F'(x)>0,得单调增区间:(-2,
和
,+∞);
令F'(x)<0,得单调减区间:
,-1)和(-1,
,
所以F(x)的单调增区间为:(-2,
和
,+∞);单调减区间为:
,-1)和(-1,
.
(2)不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m
2-3m+4化为:ln(x+1)≤ln(2x+1)-m
2-3m+4,
即整理可得:
.
设
,
所以只需求
的最大值≤-m
2-3m+4即可,
因为
在[0,1]上单调递减,
所以
,
所以
在x=0处取得最大值0,
于是得到-m
2-3m+4≥0即:m
2+3m-4≤0,
解得:-4≤m≤1
∴m的取值范围是:[-4,1].
分析:(1)先求出函数的解析式,再求出函数的导函数,分别令导函数大于0,小于0,其对应的区间分别为函数f(x)的单调增区间与单调减区间.
(2)首先分离出参数,再令
,然后把恒成立问题转化为求最值问题,再利用函数的性质得到函数的单调性,进而求出其最大值,进而求m的取值范围.
点评:本题考查利用导数研究函数的性质,如单调性与函数的最值,以及不等式的恒成立问题与最值问题的相互转化,解题时要认真审题,仔细解答.