Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数g(x)=(ρ-2)x+

ρ+2

x

-3，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）把a=1代入到f′（x），令f′（x）＞0时，得到函数的递增区间；令f′（x）＜0时，得到函数的递减区间；（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化简，求出导函数，因为函数在（2，3）上总存在极值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范围记即可；
（3）设F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，讨论ρ的范围得到函数的增减性，因为对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，得到ρ的取值范围．

解答：解：f′(x)=

a

x

-a(x＞0)
（1）当a=1时，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；
令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因为对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上，
总存在极值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9
（3）设F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-

p+2

x

F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

当ρ=-1时，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，∴F(x)在[1，2]递增，所以F（1）=4＞0成立；
1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，不成立，（舍）
-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-1
所以，此时ρ＜-1和ρ=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；ρ＞-1时，均不成立．
综上，ρ≤-1

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，会根据直线的倾斜角求直线的斜率，理解函数恒成立取到的条件．