Question

8．已知a，b，c，d都是正数，a²+b²+c²=d²，a+b+c=dx，则x的取值范围是（1，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根据题意，得${（\frac{a}{d}）}^{2}$+${（\frac{b}{d}）}^{2}$+${（\frac{c}{d}）}^{2}$=1，x=$\frac{a}{d}$+$\frac{b}{d}$+$\frac{c}{d}$；利用换元法，设$\frac{a}{d}$=m，$\frac{b}{d}$=n，$\frac{c}{d}$=p，（m＞0，n＞0，p＞0），则m²+n²+p²=1，
求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．

解答 解：∵a，b，c，d都是正数，a²+b²+c²=d²，
∴${（\frac{a}{d}）}^{2}$+${（\frac{b}{d}）}^{2}$+${（\frac{c}{d}）}^{2}$=1；
又∵a+b+c=dx，
∴x=$\frac{a}{d}$+$\frac{b}{d}$+$\frac{c}{d}$；
设$\frac{a}{d}$=m，$\frac{b}{d}$=n，$\frac{c}{d}$=p，且m＞0，n＞0，p＞0，
则m²+n²+p²=1，
x=m+n+p；
由柯西不等式得：
3=（1²+1²+1²）•（m²+n²+p²）≥（1•m+1•n+1•p）²，
∴-$\sqrt{3}$≤m+n+p≤$\sqrt{3}$，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{m=n=p}\\{{m}^{2}{+n}^{2}{+p}^{2}=1}\end{array}\right.$，即m=n=p=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取得最大值$\sqrt{3}$；
又∵m＞0，n＞0，p＞0，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np＞m²+n²+p²=1，
∴m+n+p＞1；
综上，1＜m+n+p≤$\sqrt{3}$，即x的取值范围是（1，$\sqrt{3}$]．
故答案为：$（1，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了不等式的应用问题，也考查了换元法以及不等式放缩法的应用问题，是综合性题目．