Question

函数f（x）=-x³+x²-2ax在[-1，2]上是增函数，则a的范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用当时的运算法则求出f（x）的导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0在[-1，2]恒成立，分离出参数a，构造函数，求出函数的最大值，求出a的范围．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+2x-2a，
∵f（x）=-x³+x²-2ax在[-1，2]上是增函数，
∴f′（x）=-3x²+2x-2a≥0在区间[-1，2]恒成立
∴a≤-

3

2

x²+x在区间[-1，2]恒成立
令y=-

3

2

x2+x，x∈[-1，2]
∴x=2时，y有最小值为-4
∴a≤-4．
故答案为：（-∞，-4]．

点评：解决函数的单调性已知求参数范围的题目，常转化为导函数大于等于0恒成立（导函数小于等于0）恒成立；解决不等式恒成立问题，常分离出参数转化为求函数的最值问题．