Question

已知正四面体ABCD中，M、N分别是BC和AD中点，则异面直线AM和CN所成的角的正切值为（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  2

  3

• C．-

  2

  3

• D．-

  5

  2

Answer 1

分析：画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．．

解答：解：如图，连接BN，取BN的中点K，连接FK，则MK∥CN，故∠AMKF即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△AKM中，AM=

3

=CN，MK=

1

2

CN=

3

2

．
AK=

AN2+KN2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．
∴cos∠AMK=

AM2+MK2 -AK2

2AM•MK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．
∴sin∠AMK=

1-cos 2∠AFK

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
∴tan∠AMK=

sin∠AMK

cos∠AMK

=

5 3

2 3

=

5

2

．
故选A．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线AF=M和CN所成角的正切值，而不是余弦值．