Question

如图，在几何体S-ABCD中，平面ABCD⊥平面SAD，四边形ABCD为平行四边形，且AB=3，AD=2

3

，AS=2，AB⊥BD，AS⊥AD．
（1）求证：平面SBD⊥平面SAB；
（2）求平面CSB与平面DSB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BD⊥平面SAB，可得平面SBD⊥平面SAB；
（2）建立坐标系，求出平面CSB与平面DSB的法向量，利用向量的夹角公式求平面CSB与平面DSB所成的锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵平面ABCD⊥平面SAD，AS⊥AD，平面ABCD∩平面SAD=AD，
∴SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵AB⊥BD，SA∩AB=A，
∴BD⊥平面SAB，
∵BD?平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAB；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（0，

3 3

2

，

3

2

），S（2，0，0），C（0，

7 3

2

，

3

2

），D（0，2

3

，0），
设平面DSB的法向量为

m

=（x，y，z），则
∵

SB

=（-2，

3 3

2

，

3

2

），

SD

=（-2，2

3

，0），
∴

-2x+ 3 3 2 y+ 3 2 z=0 -2x+2 3 y=0

，∴取

m

=（

3

，1，

3

3

），
同理平面CSB的法向量为

n

=（3，0，4），
∴平面CSB与平面DSB所成的锐二面角的余弦值为

3 3 + 4 3 3

3+1+ 1 3 ×5

=

13

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的平面角及求法，考查向量法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．