Question

在极坐标系中，曲线E：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．
（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；
（2）求BC的长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．联立

y=x-1 y2=2x

，利用弦长公式|BC|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出．

解答： 解：（1）∵曲线E：ρsin²θ=2cosθ，∴ρ²sin²θ=2ρcosθ，∴y²=2x．
∵点A（5，α），α为锐角且tanα=

3

4

，
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

．
∴x=5cosα=4，y=5sinα=3．
∴A（4，3），
由θ=

π

4

（ρ∈R）的直线l，可得：tanθ=1．
∴直线l的方程为：y-3=x-4，化为y=x-1．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立

y=x-1 y2=2x

，化为x²-4x+1=0．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴|BC|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(42-4)

=2

6

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，属于中档题．