Question

已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使A到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2
即|m-n|=4…①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m²+n²=8…②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）∵椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
∴2a=10，得a=5，a²=25，
由此可得，椭圆的方程为+=1
其焦距c==4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
将两圆的方程联列，得，解之得x=，y=．
即存在异于原点的点Q（，），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．
分析：（1）设出圆心C（m，n），根据直线y=x与圆相切建立关于m、n的一个方程，而原点在圆C上建立关于m、n的另一个方程，两方程联解即可得到m=-2且n=2，由此即可得到圆C的标准方程；
（2）根据椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，算出a²=25，从而得到右焦点F（4，0），因此可得以F为圆心半径r=0F=4的圆方程为（x-4）²+y²=16，将此方程与圆C方程联解，可得x=且y=，所以存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．
点评：本题给出满足条件的圆C，求圆C的标准方程，并依此探索椭圆+=1右焦点F到圆C上一点的距离能否等于4．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、圆与圆的位置关系和圆锥曲线的综合等知识，属于中档题．