Question

20．空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形PQRH是平行四边形；
（2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？

Answer 1

分析 （1）只需证明QR∥PH，且QR=PH即可．依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行．
（2）作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．
（3）结合图形，由三角形的中位线定理可得PQ∥AC，RH∥AC且PQ=$\frac{1}{2}$AC，RH=$\frac{1}{2}$AC，由平行四边形的定义可得四边形PQRH是平行四边形，再由邻边垂直得到四边形PQRH是矩形．
（4）根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，即可得到四边形ABCD满足的条件．

解答 证明：（1）如图，连接BD．
因为QR是△CBD的中位线，
所以QR∥BD，QR=$\frac{1}{2}$BD．
又因为PH是△ABD的中位线，
所以PH∥BD，PH=$\frac{1}{2}$BD．
根据公理4，QR∥PH，且QR=PH．
所以四边形QRPH是平行四边形．
（2）作出如图的空间四边形，
连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到一个四边形PQRH，
由中位线的性质知，
PH∥QR，PQ∥RH，
故四边形PQRH是平行四边形，
又AC=BD，
故有PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=QR，
故四边形PQRH是菱形．
（3）如图三所示：∵PQ∥AC，RH∥AC且PQ=$\frac{1}{2}$AC，RH=$\frac{1}{2}$AC
∴四边形PQRH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴PQ⊥QR，
∴四边形PQRH是矩形．
（4）四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
理由如下：
∵P、Q、R、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，
∴PQ∥AC，且PQ=$\frac{1}{2}$AC，
PH∥BD，且PH=$\frac{1}{2}$BD，
∵四边形PQRH是正方形，
∴PQ=QR，PQ⊥QR，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．
即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．

点评 本题主要考查了以下知识点：简单几何体和公理四，考查空间中直线与干线之间的位置关系，考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，涉及到线线平行的证明，线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属中档题．