【题目】已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2.
(Ⅰ)证明:不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点;
(Ⅱ)以α为参数,求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程,并判断该轨迹的曲线类型.
【答案】证明:(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ=2,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4, 将 代入x2+y2=4,得t2+2tcosα﹣3=0,(*)
由△=(2cosα)2﹣4×(﹣3)>0,知方程(*)恒有两个不等实根,
故不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点.
解:(Ⅱ)设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 , t2 , 弦AB中点P对应参数为t0 ,
由(*)知 =﹣cosα,
代入 中,整理,得弦AB的中点的轨迹方程为 ,
即 (α为参数),该曲线为圆
【解析】(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4,将 代入x2+y2=4,得t2+2tcosα﹣3=0,利用根的判别式能证明不论t为何值,直线l与曲线C恒有两个公共点.(Ⅱ)设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1 , t2 , 弦AB中点P对应参数为t0 , 由中点坐标公式求出 =﹣cosα,代入 中,能得到弦AB的中点的轨迹方程,由此能求出结果.
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【题目】若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
(1)已知是上的正函数,求的等域区间;
(2)试探求是否存在,使得函数是上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f′(x)+2f(x)= ,且f(1)= ,则不等式f(lnx)>f(3)的解集为( )
A.(﹣∞,e3)
B.(0,e3)
C.(1,e3)
D.(e3 , +∞)
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【题目】已知正方形的对角线与相交于点,将沿对角线折起,使得平面平面(如图),则下列命题中正确的是( )
A. 直线直线,且直线直线
B. 直线平面,且直线平面
C. 平面平面,且平面平面
D. 平面平面,且平面平面
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【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F,不垂直x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
(Ⅰ)若直线l经过点P(2,0),则直线FA、FB的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(Ⅱ)如果FA⊥FB,原点到直线l的距离为d,求d的取值范围.
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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 () | ||||||
就诊人数(个) |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取组,用剩下的组数据求线性回归方程,再用被选取的组数据进行检验.
(1)求选取的组数据恰好是相邻两月的概率;
(2)若选取的是1月与月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出关于的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
参考数据,
(参考公式: ,)
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【题目】如图,已知三棱柱 ,侧面 .
(Ⅰ)若 分别是 的中点,求证: ;
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱长均为2,侧棱 与底面 所成的角为 ,问在线段 上是否存在一点 ,使得平面 ?若存在,求 与 的比值,若不存在,说明理由.
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【题目】在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式: ,.
参考数据: .
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