Question

下面的四个不等式：
①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
②a(1-a)≤

1

4

；
③

a

b

+

b

a

≥2；
④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．
其中不成立的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④作差法证明．

解答：解：①因为2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，所以a²+b²+c²≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．
②因为a(1-a)=-a2+a=-(a-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，所以②正确．
③当a，b同号时有

a

b

+

b

a

≥2，当a，b异号时，

a

b

+

b

a

≤-2，所以③错误．
④（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=a²d²-2abcd+b²c²=（ad-bc）²≥0，所以④正确．
所以不成立的是③．
故选A．

点评：本题的考点是利用各种方法去证明和判断不等式．