Question

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析：（2）.

本试题主要考查了立体几何中线线垂直和二面角的求解运用。
解：(Ⅰ)当嗄时，底面ABCD为正方形，BDAC
又因为BDPABD,面PAC…………………………2分
又PC面PAC
BDPC…………………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线
为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
设BQ=m，则Q(1,m,0) 
要使PQQD，只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m)，……6分
由此可知时，存在点Q使得PQQD
当且仅当m= a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
设面PDQ的法向量
则解得…………………………10分
取平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为…………………………12分