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复平面内点A对应复数z,点B对应复数为
3
5
.
z
,O为原点,△AOB是面积为
6
5
的直角三角形,argz∈(0,
π
2
),求复数z的值.
分析:由题意知,有两个角可能是直角,针对于两个角展开讨论,当∠AOB=90°时根据复数的对应关系和三角形的面积得到要求的结果,同理当∠ABO=90°时,也可以做出结果.
解答:精英家教网解:对于那一个角为直角不清楚,需要讨论
∵|OA|=|z|>
3
5
|
.
z
|=|OB|,
∴∠A不可能是直角,
∴可能∠AOB=90°或∠ABO=90°.
若∠AOB=90°,示意图如图所示.
∵z与
.
z
所对应的点关于
实轴对称,
∴argz=45°,
S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|=
1
2
|z|•
3
5
|
.
z
|=
3
10
|z|2=
6
5
.于是,|z|=2,
∴z=2(cos45°+isin45°)=
2
+
2
i.

精英家教网若∠ABO=90°,示意图如图所示.
∵z与
.
z
所对应的点关于实轴对称,且∠AOB<90°,故argz=θ<45°.
令z=r(cosθ+isinθ),则
cos2θ=
|OB|
|OA|
=
3
5
,sin2θ=
4
5

S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|•sin2θ
=
1
2
r•
3
5
r•
4
5
=
6
25
r2=
6
5

∴r=
5
.又cosθ=
2
=
2
5
5

sinθ=
1-cos2θ
=
5
5

∴z=
5
2
5
5
+
5
5
i)=2+i.
综上所述,z=
2
+
2
i或z=2+i.
点评:本题考查复数的简单运算和复数的几何意义,是一个综合题,这是一个数形结合思想应用的典型题目,是一个中档题.
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