Question

某兴趣小组对偶函数f（x）的性质进行研究，发现函数f（x）在定义域R上满足f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上为增函数，在此基础上，本组同学得出以下结论，其中错误的是（ ）
A．函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称
B．函数y=f（x）的周期为2
C．当x∈[-3．-2]时f'（x）≥0
D．函数f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点

Answer 1

【答案】分析：A选项先确定f（1）=f（-1）=0，从而再由f（x+2）=f（x），及f（x）为偶函数，可得出f（1+x）=f（1-x）即可证明命题为真；
B选项根据f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期为2；
C选项由f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）为偶函数可推知f（x）在[-1，0]上单调递减；又因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上单调递减，从而f（x）在[-3，-2]上单调递减，故f′（x）≤0；
D选项根据R上的偶函数在区间[0，1]上为增函数，可知0是函数的极小值点，根据f（x） 的周期为2，可知函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点，
故可得选出正确选项．
解答：解：对于A选项，f（-1+2）=f（-1）+f（1），∴f（-1）=0，又知f（x）为偶函数，
∴f（1）=f（-1）=0，∴f（x+2）=f（x）
∵f（x）为偶函数，∴f（x+2）=f（-x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故A正确；
B选项根据f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期为2，故B正确；
C选项由f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）为偶函数可推知f（x）在[-1，0]上单调递减；
又因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上单调递减，从而f（x）在[-3，-2]上单调递减，故f′（x）≤0，所以C不正确；
D选项根据R上的偶函数在区间[0，1]上为增函数，可知0是函数的极小值点，根据f（x） 的周期为2，可知函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点，所以D正确
故正确结论的序号是A，B，D，错误的是C
故选C
点评：本题综合考查偶函数的性质，考查函数的周期性，函数的对称性，合理运用条件进行转化是解题的关键