Question

【题目】如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1 ， A2 ， …，A9和B1 ， B2 ， …，B9 ， 连接OBi ， 过Ai作x轴的垂线与OBi ， 交于点 ．

（1）求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意，过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），

∴直线OBi的方程为 ．

设Pi（x，y），由 ，解得 ，即x2=10y．

∴点 都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（2）解：由题意，设直线l的方程为y=kx+10，

联立 消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．

联立 ，解得 ．

∴直线l的方程为 ．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．

【解析】（1）由题意，求出过 且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为 ．联立方程 ，即可得到Pi满足的方程；（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN ， 可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2 ． 联立即可得到k，进而得到直线方程．