Question

已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，；分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图) .若四边形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程.
（Ⅱ）抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点任意作一条直线，交抛物线于两点. 证明：以为直径的所有圆是否过抛物线上一定点.

Answer 1

解：(1)根据题意设椭圆方程为,

由已知,,则，又,
，   ，所求的椭圆方程为.  ….…6分
(2) 根据题意知抛物线方程为: ，设满足题意的点为，
设其中，因为是直径，所以，
  ，
整理为：  …… ……（※）
同时，
整理为： 代入点得：
即有：,将其代入（※）式中整理为：
显然时上式恒成立, 进而算得，所以为定点，从而说明满足题意的存在为.  当直线垂直于轴时,易求得以为直径的圆为，同样可检验其经过.                 ….…15分
方法二：（2）设设直线AB的方程为，与联立消有,
，
以AB为直径的圆的方程为，即
，代入，有
，
即，
令. ……15分

略