Question

【题目】已知函数 ．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）求证：不等式对于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

【答案】解：（1）．
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，在上单调递减； x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，在（a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（2）证明：要证，即证lnx＞
设g（x）=lnx﹣，∴g′（x）=﹣＞0x∈（1，2）恒成立，
∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，
即．
【解析】（1）函数的定义域是（0，+∞），求出导数，分a≤0和a＞0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间．
（2）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．