Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=

3

，则a+c的最大值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、3
• C、2

  3

• D、9

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=（a+c）²-3ac可得a+c的最大值．

解答： 解：2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
∵由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，
∴可得：3≥2ac-ac=ac
∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）²-3ac可得：（a+c）²=3+3ac≤12
∴a+c的最大值为2

3

．
故选：C．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．