Question

（1）已知f（x-2）=3x-5，求f（x）；
（2）已知f（1-cos x）=sin²x，求f（x）；
（3）若f{f[f（x）]}=27x+26，求一次函数f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x-2=t求出x，将x-2及x的值代入已知等式，求出f（t），再将t用x代替求出f（x）．
（2）利用三角函数的平方关系将函数式中的正弦用余弦表示再令1-cosx=t，求出cosx，将1-cosx，cosx的值代入函数解析式得到f（x）
（3）设出f（x），将f（x）代入已知等式得到方程，令方程两边对应项的系数相等列出方程求出f（x）．
解答：解：（1）令t=x-2，则x=t+2，t∈R，
由已知有：f（t）=3（t+2）-5=3t+1，
故f（x）=3x+1．
（2）∵f（1-cosx）=sin²x=1-cos²x，
令1-cosx=t，cosx=1-t，
∵-1≤cosx≤1，
∴0≤1-cosx≤2，∴0≤t≤2，
∴f（t）=1-（1-t）²=-t²+2t（0≤t≤2），
故f（x）=-x²+2x（0≤x≤2）．
（3）设f（x）=ax+b，f[f（x）]=a²x+ab+b，
f{f[f（x）]}=a（a²x+ab+b）+b=a³x+a²b+ab+b，
∴
解得a=3，b=2．
则f（x）=3x+2，f[f（x）]=3（3x+2）+2=9x+8．
f{f[f（x）]}=3（9x+8）+2=27x+26，
∴a=3，b=2，f（x）=3x+2为所求．
点评：本题考查函数解析式的求法：①已知f（x），求f（ax+b）时，将已知函数中的x用ax+b代替即可
②已知f（ax+b）求f（x），利用换元法
③知函数模型求函数解析式利用待定系数法．