Question

如图所示，点A(－1，0)，B(2，0)，动点M满足2∠MAB＝∠MBA，求点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：设点M(x，y)，∠MAB＝α，则 　　∠MBA＝2α，tanα＝kMA＝， 　　tan(π－2α)＝kMB＝＝－tan2α， 　　∴－tan2α＝＝， 　　将tanα＝代入得， 　　化简得y＝0或＝1． 　　(1)因为∠MBA＝2∠MAB， 　　∴|MA|＞|MB|，则x≥1，∴＝1，且x≥1． 　　(2)当∠MBA＝90°时，MB斜率不存在，此时△MAB为等腰Rt△，点M(2，3)或(2，－3)经验证均在曲线上． 　　(3)当点M为线段AB内分点时，满足题设∠MBA＝2∠MAB， 　　∴y＝0且－1＜x＜2． 　　(4)点M在x轴下方时，∠MBA为MB倾斜角，此时MA倾斜角为π－∠MAB，用同样方法，可求得上述方程． 　　综上所述，点M轨迹方程为 　　＝1(x≥1)和y＝0(－1＜x＜2)．