Question

在平面直角坐标系xoy中，已知四边形OABC是平行四边形，A（4，0），C（1，

3

），点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），如图
（Ⅰ）求∠ABC的大小；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于四边形OABC是平行四边形，由cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

1

2

，求得∠ABC的值．
（II）设P(t，

3

)，其中1≤t≤5，由(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，可得(λ

OA

-

OP

)•

CM

=0，求得λ的解析式，再根据1≤t≤5，求得λ的值，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得

OA

=(4，0)，

OC

=(1，

3

)，因为四边形OABC是平行四边形，
所以，cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

1

2

，于是，∠ABC=

π

3

．…（6分）
（II）设P(t，

3

)，其中1≤t≤5，
于是

OP

=(t，

3

)，λ

OA

-

OP

=(4λ-t，-

3

)，

CM

=(1，-

3

)．…（9分）
若(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，则(λ

OA

-

OP

)•

CM

=0，
即4λ-t+3=0?λ=

t-3

4

．…（12分）
又1≤t≤5，所以λ=

t-3

4

∈[-

1

2

，

1

2

]，故存在实数λ∈[-

1

2

，

1

2

]，
使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

．…（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．