Question

已知点P（2，0）及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0.

(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；

(2)设过点P的直线与⊙C交A、B两点，当|AB|=4时，求以线段AB为直径的圆的方程.

Answer 1

解析：(1)依题意，⊙C标准方程为（x-3）²+(y+2)²=9.

设所求直线l的方程为y=k(x-2)(斜率存在)，由圆心到直线的距离

d==1.解得k=-,

∴l的方程为3x+4y-6=0.

又当l的斜率不存在时，也满足题意，此时l的方程为x=2,

故所求直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.

(2)解法一：由平面几何知识，当|AB|=4时，圆心C（3，-2）到直线AB的距离

d=,又|PC|=，

∴CP⊥AB，P为弦AB的中点.

故以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）²+y²=4.

解法二：若直线AB的斜率不存在，即直线为x=2，此时|AB|=42，不合题意，故可设直线AB方程为y=k(x-2),由圆心C到直线AB的距离

d==，解得k=.

将y=x-1代入x²+y²-6x+4y+4=0并整理，得5x²-20x+4=0.

∴AB中点横坐标x₀==2，从而y₀=0.

故以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）²+y²=4.