Question

1．给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx＜0”；
②若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；
③函数f（x）=log₂（1-3^x）的值域为（-∞，0）
④对任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0
⑤若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；
其中的真命题是②③④⑤．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 写出命题的否定判断①；由函数的奇偶性的性质判断②；求出复合函数的值域判断③；由函数的单调性与导函数间的关系判断④；由已知等式求得f（x+8）=f（x），再由周期概念判断⑤．

解答 解：①、命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①错误；
②、若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|为偶函数，其图象关于y轴对称，故②正确；
③、∵3^x＞0，∴1-3^x＜1，则函数f（x）=log₂（1-3^x）的值域为（-∞，0），故③正确；
④、对任意实数x，有f（-x）=f（x），可知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f′（x）＞0，函数为增函数，则当x＜0时，函数为减函数，有f′（x）＜0，故④正确；
⑤、若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则f（x+4）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+8）=$\frac{1}{f（x+4）}=\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}=f（x）$，8是函数f（x）的一个周期，故⑤正确．
∴其中的真命题是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，考查全称命题的否定，是中档题．