【题目】已知函数()有极小值.
(1)求实数的取值范围;
(2)若函数在时有唯一零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【解析】【试题分析】(1)求得函数定义域后,对函数求导并令导数等于零,求出导函数的零点,对分成两类讨论函数的单调区间,确定当时符合题意.(2)令,将问题转化为方程在时有唯一实根. 由(1)知函数在处取得最小值,令,利用导数求得在处取得最大值为,结合唯一实数根这一条件可求得的取值范围.
【试题解析】
(1)函数定义域为, ,令,得,
当时,若,则;若,则,故在处取得极小值,
当时,若,则;若,则,故在处取得极大值.
所以实数的取值范围是.
(2)函数在时有唯一零点,即方程在时有唯一实根,
由(1)知函数在处取得最小值,
设, ,令,有,
列表如下
1 | |||
正 | 0 | 负 | |
增函数 | 极大值 | 减函数 |
故时, ,
又时, ; 时, , ,
所以方程有唯一实根, 或,此时的取值范围为或.
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【题目】已知椭圆C的焦点为(,0),(,0),且椭圆C过点M(4,1),直线l:不过点M,且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形.
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【题目】如图,已知椭圆:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,线段的中点为,直线:交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:点在直线上;
(3)是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
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【题目】某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则每人收取培训费1000元;若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x人,此次培训的总费用为y元.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)请你预算:公司此次培训的总费用最多需要多少元?
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【题目】某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,已知在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点,
(1)试在棱上确定一点,使平面平面,说明理由;
(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
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【题目】已知点和圆,过的动直线与圆交于、两点,过作直线,交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)若不经过的直线与轨迹交于两点,且.求证:直线 恒过定点.
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