分析 (I)运用离心率公式和椭圆的a,b,c的关系,解得a,b,即可得到椭圆方程;
(II)设出直线l的方程,联立椭圆方程,消去y,运用判别式大于0,以及韦达定理和中点坐标公式,求出直线的斜率,即可得到所直线方程.
解答 解:(I)由条件椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,其中$e=\frac{1}{2}$(e为椭圆离心率),焦距为2,可得c=1,a=2,
故b2=a2-c2=3,
椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(II)由过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.,可知A,B,M三点共线,
设点A(x1,y1),点B(x2,y2).
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-4).
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=k(x-4)\end{array}\right.$消去y得,(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①
由①的判别式△=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144(1-4k2)>0,
解得k2<$\frac{1}{4}$,
x1+x2=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$,
由又点A,B的中点横坐标为$\frac{4}{7}$.可得$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}=\frac{8}{7}$
解得k2=$\frac{1}{8}$,即有k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$.
y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$(x-4).
直线l的方程:y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$(x-4).
点评 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,考查运算能力,属于中档题.
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A. | ?x0∈[0,+∞),使f(x0)>0 | B. | f(x)的图象过点(1,1) | ||
C. | f(x)是增函数 | D. | ?x∈R,f(-x)+f(x)=0 |
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使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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A. | {x|-1≤x<5} | B. | {x|4<x<5} | C. | {x|1<x<5} | D. | {x|-1<x<1} |
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