Question

已知抛物线C的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点．
（ⅰ）设S_△AOB=t•tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y²=2px（x＞0），焦点F（

p

2

，0），
∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为（1，0），
∴

p

2

=1，即p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．
联立

my=x-a y2=4x

，消x得

y2

4

-my-a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4a，x1x2=

y 21 y 22

16

=a2，…（6分）
由S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB
=

1

2

|OA|•|OB|•cos∠AOB•tan∠AOB，
∴t=

1

2

|OA|•|OB|•cos∠AOB，
∵|OA|•|OB|•cos∠AOB=

OA

•

OB

=x1x2+y1y2，…（8分）
∴t=

1

2

(x1x2+y1y2)=

1

2

(a2-4a)=

1

2

(a-2) 2-2≥-2，
∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直线BD的方程为y-y₂=

y1+y2

x2-x1

•(x-x2)，
即y-y2=

y2+y1

y 22 4 - y 21 4

•(x-

y 22

4

)
y=y2+

4

y2-y1

(x-

y 22

4

)
∴y=

4

y2-y1

x-

4

y2-y1

=

4

y2-y1

(x-1)，
∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）