已知点A(1.0).定直线l:x=-1.B为l上的一个动点.过B作直线m⊥l.连接AB.作线段AB的垂直平分线n.交直线m于点M．(1)求点M的轨迹C的方程,作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P.Q.求证OP⊥OQ．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．

（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点，l为准线的抛物线．
∴M的轨迹方程为y²=4x．
（2）当h⊥x时，h：x=4由

x=4

y2=4x

得y=±4
此时，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时，设l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4)

y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁?x₂=16，y1?y2=-

=-16
∴

•

=x₁?x₂+y₁?y₂=0
∴OP⊥OQ

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，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
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|k|

的取值范围．

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•

=0，若动点N满足条件

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
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（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K₁，求

的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．