Question

【题目】在四棱柱中，底面ABCD是菱形，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证明面面垂直，先证明线面垂直，即线垂直于平面内的两条相交直线，因为底面菱形，所以对角线,易得,所以,这样就证明了直线垂直于平面内的两条相交直线，这样线面垂直；（2）根据（1）的证明，可以O为原点建立空间直角坐标系，分别得到两个平面的法向量，根据公式，得到二面角的大小.

试题解析：（1）因为，所以和均为正三角形，于是.设AC与BD的交点为O，则，又ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

而，所以BD⊥平面，故平面平面.

（2）由，及知，又由，

得，故，

于是，从而，结合得

底面ABCD.如图，建立空间直角坐标系，则，

，

设平面的一个法向量为，由得

令x=1，得，平面的一个法向量为，

设平面与平面所成角为，则，故.