Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位长度，再将所得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2ωx-

π

6

)+

1

2

，再根据它的最小正周期求出ω的值．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，求出g(x)=sin(

1

2

x-

π

3

)+

1

2

，令2kπ+

π

2

＜

1

2

x-

π

3

＜2kπ+

3

2

π，k∈Z，求出x的范围，即可求得g（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）由题知f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

)+

1

2

，
又f（x）的最小正周期为π．所以

2π

2ω

=π，所以，ω=1．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，将f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

的图象向右平移

π

12

个单位长度，
得到的图象C₁对应的函数解析式为f1(x)=sin(2x-

π

3

)+

1

2

，再将图象C₁上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），
得到的图象C对应的函数解析式为y=g(x)=sin(

1

2

x-

π

3

)+

1

2

．
由2kπ+

π

2

＜

1

2

x-

π

3

＜2kπ+

3

2

π（k∈Z），得4kπ+

5

3

π＜x＜4kπ+

11

3

π，
所以函数g（x）的单调递减区间为(4kπ+

5

3

π，4kπ+

11

3

π)（k∈Z）．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、二倍角公式的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，复合三角函数的单调性，属于中档题．