Question

（2007•崇文区二模）如图1 矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移动到点P，使点P在平面BCD上的射影在DC上（如图2）．

（Ⅰ）求证：PD⊥面PCB；
（Ⅱ）求二面角P-DB-C的大小的正弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面PBD所成角的大小的正弦值．

Answer 1

分析：（I）折起后PD⊥PB，过P点作PF⊥CD，可得PF⊥面BCD，进而BC⊥面PCD，进而PD⊥面PBC
（II）过点F作FE⊥BD，连结PE，可得∠PEF为二面角P-BD-C的平面角，解△CPD和△DPB，可得答案：
（III）过F点作FG⊥PE；由（2）可知FG⊥面PDB，连结GD，可得∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角，解Rt△PDF中和Rt△PFE可得答案．

解答：证明：（I）∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，DA⊥AB…（1分）
∵A点移动到了P点
∴PD⊥PB
又∵P点在平面BCD上的射影在CD上
∴过P点作PF⊥CD
∴PF⊥面BCD
∴BC⊥面PCD
∴PD⊥面PBC…（4分）
解：（II）∵PF⊥面BCD
∴过点F作FE⊥BD，连结PE
∴∠PEF为二面角P-BD-C的平面角…（5分）
∵PD⊥PC，∴△CPD为Rt△

∵PD=2 3 ，CD=6 ∴PC=2 6

∴PF=2

2

…（7分）
又∵在Rt△DPB中，PD=2

3

，PB=6，BD=4

3

∴PE=3
∴sin∠PEF=

2 2

3

…（9分）
解：（III）过F点作FG⊥PE；
由（2）可知FG⊥面PDB，连结GD
∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角…（11分）
∵在Rt△PDF中，PD=2

3

，PF=2

2

∴DF=2
∵在Rt△PFE中，PF=2

2

，PE=3

∴EF=1 ∴FG= 2 2 3

∴sin∠GDF=

FG

DF

=

2

3

…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，线面垂直及线面夹角，是空间立体几何的综合应用，难度中档．