Question

10．二项式${（{2\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}}）^n}$（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是3．

Answer 1

分析 由条件可得 2${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{0}$•2ⁿ+${C}_{n}^{2}$•2^n-2，求得n的值，在 ${（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{8}$ 的展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值，可得此展开式有理项的项数．

解答 解：由题意可得${C}_{n}^{0}$•2ⁿ、${C}_{n}^{1}$•2^n-1、${C}_{n}^{2}$•2^n-2 成等差数列，
即2${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{0}$•2ⁿ+${C}_{n}^{2}$•2^n-2，化简可得 n²-9n+8=0，
解得n=8，或n=1（舍去）．
故二项式${（{2\sqrt{x}+\frac{1}{{\root{4}{x}}}}）^n}$=${（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{8}$ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^8-r•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
令$\frac{16-3r}{4}$为整数，可得r=0，4，8，
故此展开式有理项的项数是3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．