Question

甲：函数f（x）是奇函数；乙：函数f（x）在定义域上是增函数，对于函数：
①f（x）=

1

x

，
②f（x）=log₂（

x2+1

-x），
③f（x）=x|x|，
④f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是函数的性质，根据函数f（x）是奇函数及函数f（x）在定义域上是增函数逐一分析四个条件，不难得到答案．

解答：解：①中，函数f（x）=

1

x

，f（-x）=-

1

x

=-f（x），故f（x）是奇函数，
但f（x）在定义域上不是增函数，故①不满足甲；
②中，函数f（x）=log₂（

x2+1

-x），f（-x）=log₂（

x2+1

+x），
f（x）+f（-x）=log₂[（

x2+1

-x）•（

x2+1

+x）=log₂1=0，即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数，
u=

x2+1

-x为增函数，而y=log₂u也为增，
根据复合函数“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域上为增函数，符合条件
③中，函数f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），即f（x）是奇函数，
又∵x∈（-∞，0]时，f（x）=-x²为增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）=x²为增函数，
故f（x）在定义域上为增函数，符合条件．
④中，函数f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
当x＞O时，-x＜0，此时f（x）=2^x-1，f（-x）=-2^x+1，满足f（-x）=-f（x），此时函数为增函数；
当x=O时，f（0）=0，满足f（-x）=-f（x），
当x＜O时，-x＞0，此时f（x）=-2^-x+1，f（-x）=2^-x-1，满足f（-x）=-f（x），此时函数为增函数；
故f（x）是奇函数，又在定义域上为增函数，符合条件．
故答案为：②③④

点评：本题综合的考查了多个函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握各个函数的性质，然后逐一对照条件，判断条件是否满足，即可得到答案．