Question

2．已知[1+log_（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）]•[log_（4+sinx）（y+1）]=1．
（1）试将y表示为x的函数y=f（x），并求出定义域和值域；
（2）是否存在实数m，使得函数g（x）=mf（x）-$\sqrt{f（x）}$+1有零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用对数运算得出（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）=sinx+4，化简得出y=$\frac{4}{sinx}$+sinx+4，再利用三角函数，对钩函数求解即可．
（2）换元转化为y=mn²-n+1，n∈[3，+∞），利用零点定义转化为方程mn²-n+1=0，n∈[3，+∞），有解，最后再转化为m=$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n}$∈（0，$\frac{1}{3}$]利用得出函数性质求解即可．

解答 解：（1）1+log_（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）]•[log_（4+sinx）（y+1）]=1，
∴（y+1）（$\frac{sinx}{1+sinx}$）=sinx+4，
即y=$\frac{4}{sinx}$+sinx+4，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinx}{1+sinx}＞0}\\{4+sinx＞0}\end{array}\right.$
∴sinx＞0，2kπ＜x＜2kπ+π，k∈z
定义域：（2kπ，2kπ+π），k∈z，设t=sinx，t＞0，
∴y=$\frac{4}{t}$+t+4，0＜t≤1
∴根据函数的单调性得出[9，∞），
∴值域：[9，+∞）
（2）∵g（x）=mf（x）-$\sqrt{f（x）}$+1
令n=$\sqrt{f（x）}$则n∈[3，+∞）
∴可得出；y=mn²-n+1，n∈[3，+∞）
即mn²-n+1=0，n∈[3，+∞），
m=$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n}$∈（0，$\frac{1}{3}$]
0＜$-\frac{1}{{n}^{2}}$$+\frac{1}{n}$$≤\frac{2}{9}$，
∴0$＜m≤\frac{2}{9}$时，有零点．

点评 本题考察了利用构造思想转化为函数图象的交点问题求解函数零点问题，注意换元法，二次函数的性质的运用．