Question

【题目】已知函数f（x）= （2x﹣2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；
（2）当x∈（﹣1，1）时，总有f（m﹣1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）= （2﹣x﹣2x）=﹣ （2x﹣2﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数．

设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= （ ﹣ ﹣ + ）= （ ﹣ ）（1+ ），

∵y=2x是增函数，∴ ﹣ ＜0，又1+ ＞0，

∴当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）是减函数

当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数

（2）解：由f（m﹣1）+f（m）＜0得f（m）＜﹣f（m﹣1）

由（1）知f（x）为奇函数，∴f（m）＜f（1﹣m） …（8分）

又由（1）得

当0＜a＜1时，函数f（x）是减函数

∴ 解得 ＜m＜1

当a＞1时，函数f（x）是增函数

∴ ，解得0＜m＜

【解析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义进行证明即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．