Question

16．已知首项大于0的等差数列{a_n}的公差d=2，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式，解方程可得首项为1，再由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）求得b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．

解答 解：（1）依题意，由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$，d=2，
可得$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+2）（{a}_{1}+4）}$=$\frac{2}{5}$，
解得a₁=1（-5舍去），
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，
前n项和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用和求法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．