Question

【题目】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向 ，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．
（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；
（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图建立直角坐标系，

则城市A（0，0），当前台风中心 ，

设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），

则 ，此时台风的半径为60+10t，

10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，

∵r＜|PA|，

∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A

（2）解：由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以 为圆心，60+10t为半径的圆，

若城市A受到台风侵袭，

则 ，

∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，

解得12≤t≤24

∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．

【解析】（1）建立直角坐标系，，则城市A（0，0），当前台风中心 ，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以 为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．