Question

已知函数f(x)=-1+2

3

sin2x+mcos2x的图象经过点A（0，1），且g(x)=4cos(2x+

π

6

)．
（1）求函数f（x）的单调递减区间
（2）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的平移或伸缩变换？

Answer 1

分析：（1）将所给的点（0，1）代入原函数可求出m=2，得到函数的解析式，根据余弦函数的曲线写出函数的单调递减区间．
（2）先对g（x）进行整理，故只需先将g（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再向下平移1个单位便可得到f（x）的图象．

解答：（1）将（0，1）代入原函数可求出m=2．                  …（2分）
此时f(x)=-1+2

3

sin2x+2cos2x=4cos(2x-

π

3

)-1…（4分）
当2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π(k∈z)即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

时，f（x）单调递减，
故减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈z)…（6分）
（2）g(x)=4cos(2x+

π

6

)=4cos2(x+

π

12

)
故只需先将g（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再向下平移1个单位便可得到f（x）的图象．

点评：本题是中档题，考查根据三角函数的图象确定函数的解析式，三角函数的化简求值，函数的基本性质的应用，图象的变换，注意图象的变换的顺序和方法，否则容易出错．