Question

已知椭圆C的方程为，椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F₂，交椭圆于A、B两点，且△ABF₁的周长为8，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，（λ∈R），若，求点E的坐标。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，A、B不与椭圆C长轴两端点重合，
因为的周长为8，即，
又，
所以，
根据椭圆的定义，得，
所以，，
又因为c=1，所以，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设点E的坐标为（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程，
消去y整理得：， （*）
，
设，
则是方程（*）的两个实根，
由根与系数的关系可知：，
，
由已知，得，
由已知，
，

，
因为，
，
∴，
∴，
化简得：6m-24=0，m=4，
即E（4，0）。