【题目】已知函数f(x)=()x.
(Ⅰ)当x∈[﹣1,1]时,求函数y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)g(a)=(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)在的情况下,求出的值域,对所给函数进行配方化简,可利用一元二次函数的性质对进行分类讨论,可得函数的最小值;(Ⅱ)假设存在,利用(Ⅰ)中分段函数在的单调性,结合区间与值域,可得关于的等式,解得存在情况.
试题解析:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=()x∈[,3],
y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[()x]2﹣2a()x+3
=[()x﹣a]2+3﹣a2. .
由一元二次函数的性质分三种情况:
若a<,则当时,ymin=g(a)=;
若≤a≤3,则当时,ymin=g(a)=3﹣a2;
若a>3,则当时,ymin=g(a)=12﹣6a.
∴g(a)=
(Ⅱ)假设存在满足题意的m、n,
∵m>n>3,且g(x)=12﹣6x在区间(3,+∞)内是减函数,
又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
∴
两式相减,得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n),
∵m>n>3,∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,
∴满足题意的m、n不存在.
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【题目】已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.
(1)若在线段上, 是的中点,证明: ;
(2)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
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【题目】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:利润和投资单位:万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?
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【题目】已知函数f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
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【题目】如图,抛物线: 与椭圆: 在第一象限的交点为, 为坐标原点, 为椭圆的右顶点, 的面积为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线交于、 两点,射线、分别交于、两点,记和的面积分别为和,问是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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